Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de
n-ésimo grado de la función ƒ en el numero
a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5),
se denomina forma de lagrange del residuo, llamada así
en honor al matemático francés joseph l.
lagrange (1736-1813).
El caso especial de la fórmula de Taylor que
se obtiene al considerar a = 0 en (2) es
Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe
el nombre de fórmula de maclaurin, en honor al
matemático escocés colin maclaurin
(1698-1746).
Sin embargo, la fórmula fue obtenida por
Taylor y por otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El
polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una
función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0,
es
(6)
De este modo, una función puede aproximarse
por medio de un polinomio de Taylor en un número a o
por un polinomio de maclaurin.
Ejemplos:
Ilustrativo 1
Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo
grado para la función exponencial natural.
Si ƒ(x) = 
, entonces todas las derivadas de ƒ en x son
iguales a 
y
las derivadas evaluadas en cero son 1. Por tanto, de
(6),
Así, los primeros cuatro polinomios de
maclaurion de la función exponencial natural
son
Las figuras 1 a 4 muestran la grafica de ƒ(x) =
junto con las
graficas
de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en
el rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0,
4].
En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro polinomios de
maclaurin y la grafica de
ƒ(x) = en el mismo sistema
coordenado. Observe como los polinomios aproximan para valores de
x cercarnos a cero, y note que conforme n se incrementa, la
aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan
los
valores de , Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y – Pn(x) para x = 0.4 y
x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de
x, a medida que x esta mas cerca de 0, es mejor la
aproximación para un Pn(x) especifico.
n | e0.4 | Pn(0.4) | e0.4 – Pn(0.4) |
0 | 1.4918 | 1 | 0.4918 |
1 | 1.4918 | 1.4 | 0.0918 |
2 | 1.4918 | 1.48 | 0.0118 |
3 | 1.4918 | 1.4907 | 0.0011 |
n | e0.2 | Pn(0.2) | e0.2 – Pn(0.2) |
0 | 1.2214 | 1 | 0.2214 |
1 | 1.2214 | 1.2 | 0.0214 |
2 | 1.2214 | 1.22 | 0.0014 |
3 | 1.2214 | 1.2213 | 0.0001 |
De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando
Pn(x) es el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la
función exponencial natural, es
Continua..
donde z esta entre 0 y x (8)
en particular, si P
(x) se emplea para aproximar , entonces
donde z esta entre 0 y x
y
figuras del 1 al 4 muestran Graficas.
formula de Taylor
Una sucesión(o progresión): es una
lista de números en un orden
específico.
Por ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10
forman una sucesión. Esta sucesión se
denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un
conjunto de números que forman una sucesión no
tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es
infinita. Por ejemplo:
en una sucesión infinita; los tres
últimos puntos indican que no hay último
número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas,
la palabra sucesión en este texto
significará sucesión infinita. Se iniciara el
estudio de esta sección con la definición de
función sucesión.
Definición de función
sucesión
Una función sucesión es una
función cuyo dominio es el
conjunto
{ 1, 2, 3, 4, ….., n, ….}
de todos los números enteros
positivos.
Los números del contradominio de na
función sucesión se denominan elementos. Una
sucesión consiste de los elementos de una
función sucesión listados en orden.
Ejemplo:
Sea ƒ la función definida por
n e
{1, 2, 3, 4,…}
entonces ƒ es una función
sucesión, y
continua..
y así sucesivamente. Los elementos de la
sucesión definida por ƒ son 
etcétera: y la sucesión es la (1).
Algunos de los pares ordenados de la función
sucesión ƒ son (1, 
), (2, 
), (3, 
), (4, 
), y (5, 
).
Por lo general, cuando los elementos se listan en
orden se indica el n-ésimo elemento ƒ(n) de la
sucesión. De este modo, los elementos de la
sucesión (1) pueden escribirse como
,….
Puesto que el dominio de
cada función sucesión es el mismo, puede
emplearse la notación { ƒ(n) } para denotar una
sucesión. Así, la sucesión (1) puede
denotarse por { n/(2n + 1) }. También se utiliza la
notación de subíndice { 
} para expresar una
sucesión para la cual
ƒ(n) =
grafica
infinitas de términos constantes
una parte importante del estudio del cálculo
trata sobre la representación de funciones como sumas
infinitas.
Suponga que la asociada a la sucesión
se tiene una suma infinita denotada por
se forma una nueva sucesión 
sumando sucesivamente
elementos de 
:
la sucesión 
obtenida de esta manera apartir de la sucesión
es una
sucesión de sumas parciales llamada serie
infinita.
Definición de serie
infinita
Si 
es
una sucesión y
entonces 
es una sucesión de sumas parciales denominada serie
infinita y se denota por
los números 
son los términos de la serie
infinita.
Continua…
Ejemplo:
sea la serie infinita
- obtenga los primeros cuatro elementos de la
sucesión de sumas parciales
ysolución
(a) como
- determine una fórmula para en términos de
n. - como
y
en términos de
se tiene, mediante fracciones parciales.
Para ver la fórmula seleccione
la opción "Descargar" del menú
superior
por tanto,
de esta forma, como 
continua…
Al eliminar los paréntesis y reducir los
términos semejantes se obtiene:
si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta
ecuación, se verá que los resultados anteriores
son correctos.
El método
empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica
sólo un caso especial. En general, no es posible obtener
una expresión de este tipo para s
.
las series infinitas, cuyos términos son
positivos, tiene propiedades especiales.En particular, la sucesión de sumas parciales
de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si
la sucesión es monótona y acotada. Como el
acotamiento y la convergencia de u na sucesión
monótona son propiedades equivalentes, entonces, la
series es convergente. De este modo, se tiene el teorema
siguiente.Teorema
Una serie infinita de términos positivos es
convergente si y sólo si su sucesión de sumas
parciales tiene una cota superior.En si mismo, este criterio no es muy útil:
decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que
no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas
series convergentes para comparación se peude utilizar
este criterio para obtener un resultado cuya sencillez
encubre su importancia (constituye la base para casi todas
las demás pruebas).Ejemplo:
Demuestre que la serie es convergente:
solución:
se debe obtener una cota superior para la
sucesión de sumas parciales de la seriecontinua….
ahora se consideran los primeros n términos
de la serie geométrica con a = 1 y r =
:
la serie geométrica con a=1 y r=
tiene la suma
a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación
anterior es menor que 2. observe que cada término de
la suma primera es menor que o igual al término
correspondiente de la suma siguiente; esto es,
esto es cierto por que k¡ = 1 · 2
· 3 ·….· k, que , además
del factor 1.Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o
igual a 2. en consecuencia.
de lo anterior,
tiene la cota superior 2. por tanto, por el
teorema de la serie infinita la serie dada es
convergente.- series
infinitas de términos positivosUn tipo de series infinitas que constan de
términos positivos y negativos es el de las series
alternantes, cuyos términos son, alternadamente,
positivos y negativos.Definición de serie
alternanteSi
para todos los números enteros positivos n,
entonces la serie
y la serie
se denominan series alternantes.
Ejemplo:
Un ejemplo de serie alternante de la forma de la
primera ecuación , donde el primer termino es
positivo, es
una serie alternante de la segunda ecuación,
donde el primer termino es negativo, es
el teorema siguiente, denominado criterio de las
series alternantes, establece que una serie alternante es
convergente si los valores absolutos de sus términos
decrecen y el limite del n-ésimo término es
cero. El criterio también se conoce como el criterio
de leibniz para series alternantes debido a que leibniz lo
formuló en 1705. - series infinitas de términos
positivos y negativos - series
de potencias
:
tiene la cota superior 2. por tanto, por el
para todos los números enteros positivos n,
Son series de la forma S an (x –
x0)n ; loss números reales
a0, a1, …. , an, … son los
coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la
serie S an . xn.
Como toda serie S an (x –
x0)n puede llevarse a la forma S
an .x¢ n haciendo x¢ = x –
x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este
último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que
convergen solamente para x = 0; series que convergen para
cualquier número real x y series que convergen para
algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al
siguiente:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el
valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para
cualquier x / ô xô < ô x0ô
.
Demostración:
Si S an .x0n < ¥
, entonces 
.
Tomando x = 1 $ n0 Î N / " n ³
n0 : ô an x0n –
0ô = ô an x0nô
< 1
Luego:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
ô an xnô =
Si x es tal que ô xô < ô
x0ô Þ
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Luego " n ³ n0 : ô an
xnô < qn y la serie S ô
an xnô converge por
comparación con la serie geométrica S
qn. Por lo tanto S an xn
converge absolutamente.
teorema:
Si una serie de potencias S an xn no converge para x0
entonces tampoco converge para un número x si ô
xô > ô x0ô.
radio e intervalo de convergencia
Si una serie de potencias S an xn
converge para valores de x / ô xô < R y diverge
para ô xô > R, al valor de R se llama radio de
convergencia de la serie y al conjunto -R < x < R se
llama intervalo de convergencia; el intervalo de
convergencia puede o no incluir los extremos.
Veamos como se calcula el radio de
convergencia
Consideremos la serie S an xn / S
ô an xnô < ¥
.
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Si existe, para cada x es:
Aplicando el criterio de D¢ Alembert para cada x
resulta;
1.ô xô < 1 Þ S an
xn converge y
1.ô xô > 1 Þ S an
xn diverge
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Es decir, para ¹ 0 , la serie S an
xn converge si ô xô < 1 / l
= R y diverge si ô xô >1/l
= R.
Si l = 0 la serie converge para cualquier valor
de x.
En efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este
caso el radio de
convergencia R = ¥
Si l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es
decir la serie solo converge para x = 0.
7.
diferenciación e integración de series de
potencias
apartir de series de potencias se pueden obtener otras
series de potencias mediante la diferenciación e
integración.
Se establecerán los dos teoremas
fundamentales.
Teorema
Si es una serie de potencias cuyo radio de
convergencia es
R > 0, entonces tambien tiene a R como su radio de
convergencia.
Este teorema, cuya demostración se presenta en
el suplemento de esta sección. Establece que la serie,
obtenida al diferenciar cada término de una serie de
potencias término a término, tendrá el
mismo radio de convergencia que la serie dada. En el ejemplo
ilustrativo siguiente se verifica el teorema para una serie de
potencias particular.
Ejemplo:
Considere la serie de potencias.
el radio de convergencia se determina aplicando el
critero de la razón.
en consecuencia, la serie de potencias es convergente
cuando 
; de
modo que su radio de convergencia es R = 1.
Continua….
La serie que se obtiene al diferenciar término
a término la serie anterior es :
si se aplica el criterio de la razón a esta serie
de potencias se tiene
esta serie es convergente cuando 
< 1, así, su
radio de convergencia es R´ = 1. como R = R´, se ha
verificado este teorema para esta serie.
Teorema
Si el radio de convergencia de la serie de potencias es
R > 0 entonces R tambien es el radio de convergencia de la
serie:
Demostración
El resultado deseado se deduce cuando el teorema primero
se aplica a la serie 
en este tema se mostrará cómo obtener
representaciones en series de potencias de funciones que tienen
derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que
son infinitamente diferenciables.
esta serie se denomina serie de Taylor de f en a. el
caso especial , es cuando a = 0, es :
y se llama serie de maclaurin.
ejemplos:
calcule la serie de maclaurin para 
.
Solución
Si 
para
toda x, por tanto, 
para toda n. así, de la ecuación de maclaurin
se tiene la serie de maclaurin:
obtenga la serie te Taylor para sen x en a.
si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x,
ƒ“(x) = -sen x, ƒ““(x) = -cos x, 
(x) = sen x, y así
sucesivamente. De este modo, de la fórmula de Taylor,
la serie de
Taylor requerida se obtiene del teorema serie de
Taylor.
9. series de
potencias para logaritmos naturales y serie
binominal
se concluye el estudio de series infinitas en esta
sección al considerar y aplicar dos seriers
básicas: la serie para calcular logaritmos naturales y la
serie binominal.
A fin de obtener la serie para calcular logaritmos
naturales, primero se determinará una
representación en serie de potencias de
ln(1+x).
Ejemplo:
Considere la función ƒ definida
por
ƒ(t) = 
una representación en serie de potencias para
esta función está dada por la serie la cual
es:
si
< 1
al integrar término a término se
obtiene
si
< 1
por tanto,
si
< 1
si
< 1
- ¿Qué son las aproximaciones
polinomiales? - ¿Qué son sucesiones?
- ¿Qué son series?
- ¿Cuáles son las series infinitas de
términos constantes? - ¿Cuáles son las series infinitas de
términos positivos? - ¿Cuáles son las series infinitas de
términos positivos y negativos? - ¿que son los criterios de convergencia y
divergencia de series infinitas? - ¿Qué son las series de
potencias? - ¿Qué son las series de
Taylor? - ¿Cuáles son las series de potencias
para logaritmos naturales?
10 Respuestas
Muchas funciones pueden aproximarse mediante
polinomios y que el polinomio, en lugar de la función
original, puede emplearse para realizar cálculos
cuando la diferencia entre el valor real de la función
y la aproximación polinomial es suficiente
pequeña.- son valores de funciones polinomiales que pueden
determinarse efectuando un número finito de adiciones
y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las
funciones logarítmicas, exponenciales y
trigonometricas, no pueden evaluarse tan
fácilmente.Por ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10 forman una
sucesiónes la suma de una sucesión obtenida a la que
se le llama sucesión de sumas parciales llamada serie
infinita. - Una sucesión(o progresión): es una
lista de números en un orden
específico. - es la sucesión de sumas parciales denominada
serie infinita. - son las que tienen propiedades especiales, en
particular, la sucesión de sumas parciales de dichas
series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la
sucesión de sumas parciales también tiene una
cota superior, entonces la sucesión es monótoma y
acotada. - son las que se llaman series alternantes, cuyos
términos son, altamente, positivos y
negativos. - son teoremas para determinar la convergencia y
divergencia de una serie finita de números
constantes. - son las series de términos variables ,
las cuales pueden considerarse como una generalización
de una función polinomial. Con la cual se puede calcular
valores de función tales como se x, ex, ln x. las cuales
no se pueden evaluar mediante las operaciones
aritméticas conocidas y empleadas para determinar
valores de funciones racionales. - son de las que se obtienen representaciones en series
de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los
órdenes, es decir, funciones que son infinitamente
diferenciables. - son series para calcular logaritmos naturales , el
cual primero se determina una representación en serie de
potencias.
10 ejercicios 10 soluciones
Ejercicio: representaciones gráficas (función
logarítmica)
Representar gráficamente la función y =
log2 x.
Resolución:Name=3;
HotwordStyle=BookDefault;
Para determinar por qué puntos pasa la
función se elabora una tabla de valores:
x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Representar gráficamente la
función y = log1 / 2 x.
Resolución:Name=4;
HotwordStyle=BookDefault;
Para determinar por qué puntos pasa la
función se elabora una tabla de valores:
x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
Representar en unos mismos ejes de
coordenadas las funciones
y = log2 x y = ln x y=log10
x.
Ejercicio: resolución de ecuaciones
logarítmicas
Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log
(x – 0,9).
Resolución:
log x2 = log 10 + log ( x
– 0' 9)
log x2 = log [10 (x – 0' 9)]
x2 = 10 (x – 0' 9)
x2 = 10x – 9 x2 –
10x + 9 = 0
Hay dos soluciones:
x = 9 y x = 1
Resolución:
x no puede ser cero pues no existe
log 0
La solución x = -4 no es válida
puesto que los números negativos no tienen logaritmo.
Por lo tanto, x = 4.
Ejercicio: ecuaciones
exponenciales que se resuelven utilizando
logaritmos
Resolver la ecuación 2x = 57.
Resolución:
Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x =
log 57
Resolución:
Tomando logaritmos en ambos miembros,
Resolver 43x = 8x + 6.
Resolución:
Expresando 4 y 8 como potencias de dos (22)3x
= (23)x + 6.
Esta ecuación puede escribirse como
(23x)2 = 23x + 6.
Haciendo el cambio 23x =
y, la ecuación se escribe y2 = y +
6.
Ahora basta con resolver esta ecuación de
segundo grado y deshacer el cambio de
variable para obtener el valor de x.
continua..
Las dos soluciones
son y1 = 3; y2 = -2
Para y1 = 3, 23x = 3. Tomando logaritmos en
ambos miembros,
Para y2 = -2, 23x = -2. No existe un
número x que verifique esto ya que 23x es siempre
positivo.
Ejercicio: resolución de sistemas de
ecuaciones logarítmicas
Resolución:
10 y4 = 105 y4 = 104
y = 10 (El resultado y = -10 no tiene
sentido.)
Como x = 10y x =
10·10 = 100
Resolución:
(20 + y) y = 100 20y +
y2 = 100
Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16
8
Resolución:
Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9
27
Resolución:
Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 =
0,845098, calcular log7 2.
Resolución:
en este trabajo se llega a la conclusión de que
las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas,
son parte importante del calculo, ya que con ellas se pueden
llegar a resultados precisos en cuanto con operaciones
aritmeticas no se pueden llegar, hablando de aproximaciones
polinomiales vemos que son una forma de saber como determinar las
funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas,
ya que algunas veces no pueden evaluarse fácilmente dentro
del contexto de la aritmetica, tanto así que es necesario
tener la mente abierta y receptiva a nuevos conceptos de poder calcular
determinado resultado que buscamos. En las sucesiones vemos que
son conceptos vistos anteriormente en el álgebra,
ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado
conjunto de numeros en orden logico, y así poder encontrar
el resultado que buscamos, en las series infinitas vemos que son
las sumas parciales de las sucesiones ya que con la cual tambien
son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado
parametrito establecido con anterioridad en un orden
lógico.
Gracias.
CÁLCULO INTEGRAL. P. Puig Adams
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
Piskunov
CÁLCULO SUPERIOR. Murray R.
Spiegel
CÁLCULO. F. Granero
Rodríguez.
PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL.
R.A.E.C.
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Autor:
Adolfo Castillo
Mercado
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